Równanie Fraunhofera

Równanie Fraunhofera (czasami określane jako równanie fali w przybliżeniu parafalnym) jest jedną z podstawowych równań opisujących rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w ośrodkach o zmiennym współczynniku załamania. Wywodzi się ono z równań Maxwella przy zastosowaniu przybliżenia parafalicznego i jest szeroko stosowane w optyce, dyfrakcji oraz interferometrii.

Historia

Równanie nosi imię po niemieckim fizyku i optyku Augustie Fraunhoferze, który w XIX wieku przeprowadził szereg eksperymentów związanych z dyfrakcją i spektroskopią. Jego badania przyczyniły się do sformułowania przybliżenia opisującego falę świetlną w pobliżu punktu ogniskowania soczewki, co później zostało ujęte w postaci matematycznej – równania Fraunhofera.

Formulacja matematyczna

W najprostszej postaci równanie Fraunhofera opisuje skalarne pole falowe U(x,y,z) w ośrodku o jednorodnym współczynniku załamania n:

∇_⊥²U + 2ik ∂U/∂z = 0,

gdzie:

∇_⊥² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² – operator Laplace’a w płaszczyźnie prostopadłej do osi z,
k = 2πn/λ – liczba falowa w ośrodku (prędkość światła c i długość fali λ),
i – jednostka urojenia.

Równanie to jest uproszczeniem pełnego równania falowego:

∇²U + k²U = 0,

przy założeniu, że zmiany pola wzdłuż osi z są powolne w porównaniu z długością fali (tzw. przybliżenie parafalne).

Derivation (wyprowadzenie)

Wyprowadzenie równania Fraunhofera rozpoczyna się od zapisu pełnego równania falowego:

∇²E - μ₀ε₀ ∂²E/∂t² = 0,

gdzie E jest polem elektrycznym. Zakładając jednorodny, liniowy ośrodek i harmoniczny czasowy zależny od e^{-iωt}, otrzymujemy:

∇²E + k²E = 0.

Następnie wprowadzamy reprezentację pola w postaci:

E(x,y,z) = U(x,y,z)·e^{ikz},

gdzie czynnik U opisuje powolną (w porównaniu do e^{ikz}) modulację amplitudy. Podstawiając i pomijając wyrazy drugiego rzędu względem ∂U/∂z (przybliżenie parafalne) dochodzimy do równania Fraunhofera.

Rozwiązania

Najbardziej znane rozwiązania równania Fraunhofera obejmują:

Fala płaska – trywialne rozwiązanie U = const.;
Gaussian beam (wiązka Gaussa) – opisuje rozprzestrzenianie się wiązki laserowej:
```
U(r,z)=U₀ \frac{w₀}{w(z)} \exp\!\Bigl[-\frac{r²}{w²(z)}\Bigr] 
      \exp\!\Bigl[-ik\frac{r²}{2R(z)}\Bigr] 
      \exp\!\bigl[i\zeta(z)\bigr],
```
gdzie r = √(x²+y²), w(z) to promień wiązki, R(z) promień krzywizny frontu falowego, a ζ(z) – faza Guoy’a.
Funkcje Hermite’a-Gaussa (wiązki o trybach prostokątnych) oraz Laguerre’a-Gaussa (wiązki o symetrii kołowej).

Zastosowania

Równanie Fraunhofera znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach:

Optyka projektowa – analiza systemów optycznych (obiektywów, mikroskopów);
Dyfrakcja i interferometria – opisanie wzorów dyfrakcyjnych w przybliżeniu parafalnym;
Laserologia – modelowanie propagacji wiązek laserowych;
Fotoniczne układy scalone – projektowanie falowodów i modulatorów;
Radar i systemy LiDAR – symulacje rozprzestrzeniania się fal radiowych i świetlnych.

Ograniczenia

Równanie Fraunhofera jest przydatne jedynie wtedy, gdy spełnione są następujące warunki:

Współczynnik załamania n zmienia się wolno wzdłuż kierunku propagacji;
Kąt rozproszenia jest mały (θ ≪ 1 rad), co zapewnia, że przybliżenie parafalne jest uzasadnione;
Efekty polaryzacji są pomijalne lub można je traktować osobno (równanie opisuje pole skalarne).

W sytuacjach, w których te założenia nie są spełnione, należy odwołać się do pełnych równan Maxwella lub do równania Fresnela.

Powiązane pojęcia

Źródła

Podstawową literatureczną podstawę stanowią:

Hecht, Optics, wyd. Pearson – rozdział poświęcony przybliżeniu parafalnemu;
Goodman, Introduction to Fourier Optics – szczegółowy opis rozwiązania Gaussa;
Born i Wolf, Principles of Optics – klasyczna pozycja omawiająca pochodzenie równania Fraunhofera.

Patrz także

Dyfrakcja, Interferometria, Laser, Równania Maxwella, Prędkość światła.